Учился в Полтавской гимназии, затем - в Харьковском университете.
Окончив с отличием университет, рекомендован для приготовления к профессорскому званию по кафедре философии. Однако самостоятельная кафедра философии в университете вскоре была закрыта, и Жаворонкова назначили помощником библиотекаря университетской библиотеки. Затем он служил инспектором Тамбовской и Харьковской гимназий.
14 июля 1852 г. назначен директором народных училищ Курской губернии. В первые же годы его директорства в губернии резко возросло число женских школ. Д.Г. Жаворонков способствовал тому, что грамотность женщин в Курской губернии возросла с 0,39% в 1882 г. до 6,6% в 1897 г.
В августе 1867 г. он адресовал записку в губернскую земскую управу, в которой, обращая внимание на дороговизну учебников и учебных пособий при покупке их у частников, предложил организовать снабжение учащихся учебниками непосредственно через земство путём создания книжных складов. Предложение приняли. Земство учредило книжные склады.
С деятельностью Д.Г. Жаворонкова связана история первых гимназий Курска, как мужской, так и женской.
В 1861-1900 гг. Д.Г. Жаворонков руководил Мариинской женской гимназией, занимая одновременно и должность директора Курской мужской классической гимназииZhA. Преподавал он бесплатно по 12 часов в неделю: причитавшееся ему вознаграждение за уроки он жертвовал в пользу гимназии.
Играя главную роль при приёме в гимназии, Жаворронков не обращал внимание на вероисповедание, общественное положение и материальное состояние родителей поступавших и всеми доступными средствами (включая собственные) поддерживал способных, но преимущественно бедных учащихся.
С конца 1850-х гг. в Курской мужской классической гимназии с участием Д.Г. Жаворонкова образовался коллектив молодых преподавателей, горячо интересовавшихся наукой, литературой, искусством и педагогикой.
Как только в Курске открыли воскресные школы, Д.Г. Жаворонков и возглавляемые им педагогические коллективы мужской и женской гимназий, уездного и приходского училищ безвозмездно стали работать в них.
Д.Г. Жаворонков был непременным членом Губернского статистического комитета, товарищем председателя.
12 мая 1878 г. ему присвоено звание Почётного гражданина Курска.
В честь 25-летия его трудовой деятельности учреждена стипендия его имени, которая предназначалась для помощи беднейшим воспитанникам Курской гимназии.
Д.Г. Жаворонкова, неоднократно, выводили в литературных произведениях того времени (например, в сочинениях Е.Л. Маркова) и в воспоминаниях бывших учеников Курской мужской гимназии.
А. С. Амоскин.