Родился в д. 2-е Никольское Тимского уезда Курской губернии в семье земского врача В.Т. Румянцева.
Начальное образование получил в земской школе.
В 1908 г. окончил Курскую классическую гимназию.
В 1913 г. окончил естественное отделение Московского университета с дипломом I-й степени и званием — кандидат естественных наук по специальности "зоология, сравнительная анатомия и физиология" и оставлен ассистентом на кафедре гистологии и эмбриологии.
С 1919 г. заведовал университетской гидробиологической станцией "Глубокое озеро".
В 1925 г. — доцент.
А.В. Румянцев читал в университете курсы:
‐ теоретические основы микроскопии,
‐ общая цитология,
‐ коллоидная химия протоплазмы,
‐ специальные главы по сравнительной гистологии,
‐ культура тканей.
Стал организатором первого в России практикума по гистологии.
В 1931-1934 гг. работал во Всесоюзном институте экспериментальной эндокринологии Наркомздрава СССР.
С 1935 г. зав. лабораторией гистогенеза в институте эволюционной морфологии им. А. Н. Северцова АН СССР (морфология — наука о форме и строении организмов) и зав. кафедрой гистологии, организованной им в 3-м Московском медицинском институте.
В книге "Основы эндокринологии" (Н.А. Шерешевский, О.А. Степпун, А.В. Румянцев. 1936) написал раздел "Морфофизиология и гистофизиология эндокринной системы", основанный на научных данных.
С началом Великой Отечественной войны (1941-1945) работал в Киргизии, изучал последствия ожоговых ран,
Результаты исследований описал в монографии «Опыт исследования эволюции хрящевой и костной ткани».
В 1943 г. избран профессором 3-го Московского медицинского института.
А.В. Румянцев принимал участие в работе различных научных обществ, организовывал съезды и научные конференции, избирался председателем секции гистологии, эмбриологии и экспериментальной морфологии Московского общества испытателей природы и заместителем председателя Общества анатомов, гистологов и эмбриологов.
Скончался и похоронен в Москве.
А.В. Румянцев — автор работ:
«Культуры тканей вне организма и их значение в биологии» (1932);
«Микроструктура кожи и методы её микроскопического исследования» (1934);
«Морфология и гистофизиология эндокринной системы» (1936);
«Курс гистологии» (1946, совместно с А.А. Заварзиным);
«Опыт исследования эволюции хрящевой и костной тканей» (1958).