Родился в с. Рыбинские Буды Обоянского уезда Курской губернии, в семье торговца.
В четырнадцать лет порвал родителями и ушёл из дома.
Работал на шахтах Донбасса, там сблизился с революционерами.
После Октябрьской революции (1917) г. становится активным бойцом.
В 1918 г. вступил добровольцем в 1-й Путивльский партизанский отряд.
За разгром банды гайдамаков награждён именным оружием.
По заданию Льговского уездного исполкома участвует в продразвёрстке.
В 1919 г. — председатель уездной ЧК в г. Щигры Курской губернии.
Весной 1919 г. отправлен на восточный фронт "... для борьбы со шпионажем, предательством, изменой и контрреволюцией в пределах Туркестанской армии."
Позднее в составе 5-й армии участвует в боях с колчаковцами и иностранными интервентами.
Под видом чиновника проник в Иркутск — столицу "верховного правителя" - адмирала Колчака. Там осуществил ряд диверсий.
После взятия Красной Армией Иркутска, участвовал в аресте колчаковских министров.
Организовал Иркутскую губернскую ЧК.
В марте 1920 г., реввоенсоветом 5-й армии и Иркутским губревкомом, назначен ответственным представителем при золотом запасе РСФСР (золото отбитое у Колчака, более 20 железнодорожных вагонов).
Получив указание предсовнаркома В. И. Ленина о доставке золота в Казань, начал подготовку эшелона.
22 марта 1920 г. "золотой эшелон" отправился со станции Иркутск.
По пути следования случались различные происшествия, в виде попыток ограбления, разрушенных мостов через реки Ию, Уду и Бирюсу, железнодорожных путей, не выдерживавших тяжести поезда.
3 мая 1920 г. эшелон прибыл на станцию Казань.
Было доставлено 6815 ящиков с золотом на сумму 409 625 870 руб. 23 коп.
4 июля 1920 г. в Москве, В.И. Ленин лично поблагодарил А. Косухина за мужество проявленное при доставке золота.
По возвращении в Иркутск, А. Косухин назначен начальником военного контроля Народно-революционной армии, директором департамента государственной политической охраны Дальневосточной Республики и председателем чрезвычайного военно-полевого суда.
В конце 1920 г. А. Косухина направляют в Архангельск, на укрепление северной границы РСФСР, затем начальником военного контроля в 9-ю Кубанскую армию.
В 1921 г. тяжёлая болезнь заставляет его оставить военную службу и он возвращается в Курск.
С июля 1921 г. — член коллегии Курского губвоентрибунала.
С января 1922 г. — уполномоченный 4-го отделения Курского губчека.
Скончался от туберкулёза. Похоронен на Херсонском кладбище Курска.
31 октября 1987 г. прах А.А. Косухина перенесён на мемориал в Парк Героев гражданской войны.
13 ноября 1987 г. в память А.А. Косухина его именем названа улица в Центральном округе Курска (Северо-западный жилой микрорайон), на здании №18 установлена мемориальная доска.
10 ноября 2017 г. в с. Рыбинские Буды открыт памятник А.А. Косухину.
В Курской областной картинной галерее им. А.А. Дейнеки находится картина «Командир золотого эшелона А. Косухина» (1965-1966) работы художника А.Ф. Балабина.