Родился в с. Любимовка Глушковского района ЦЧО.
В 1950 г. окончил Рыльский сельскохозяйственный техникум.
В 1955 г. после окончания Воронежского сельскохозяйственного института работал в Курской области агрономом, директором Кремяновской машинно-тракторной станции (МТС).
В 1958-1960 гг. — начальник инспекции по сельскому хозяйству Медвенского района.
С мая 1960 г. по июль 1961 г. — председатель райисполкома Медвенского р-на.
В 1961-1962 гг. — первый секретарь Хомутовского РК КПСС.
В 1962-1964 гг. — первый секретарь парткома Дмитриевского производственного колхозно-совхозного управления.
В 1964-1965 гг. — первый секретарь Дмитриевского РК КПСС.
В 1967 г. окончил Высшую партийную школу при ЦК КПСС.
В январе 1968 г. избран секретарём Курского обкома КПСС.
В 1970-1988 гг. — Первый секретарь Курского обкома КПСС.
Освобождён от занимаемой должности по состоянию здоровья решением ЦК КПСС.
С 1988 г. — директор областной школы по подготовке партийно-хозяйственных кадров.
А.Ф. Гудков избирался: делегатом ХХV-ХХVI съездов КПСС, членом ЦК КПСС (1976-1989), депутатом Верховного Совета СССР 8, 9, 10 созывов.
Скончался и похоронен в Курске. На захоронении установлен памятник (бюст).
Награды: два ордена Ленина, орден Октябрьской Революции, орден «Знак Почёта», медали.
В 1992 г. в память А.Ф. Гудкова, на здании ул. Ленина, 108 открыта мемориальная доска.
В апреле 2007 г. мемориальная доска открыта на родине А.Ф. Гудкова, на фасаде средней школы с. Любимовка.
Ист: Курская правда. 2007. 17 апреля.
16 декабря 2014 г. решением городского собрания имя А.Ф. Гудкова присвоено новой улице Курска (между ул. Дубровинского и ул. Фестивальной).