Родился в с. Конышевка Льговского уезда Курской губернии в крестьянской семье.
В 1911-1914 гг учился в Петербургском политехническом институте, где увлёкся воздухоплаванием.
Первые полёты совершил в Севастопольской авиационной школе.
В 1914 г. с началом Первой мировой войны, мобилизован в армию. Участвовал в боевых действиях.
После Октябрьской революции 1917 г. служил в воздухоплавательных частях Красной Армии.
С 1918 г. — в Центральном авиапарке Москвы, откуда направлен на учёбу в Институт инженеров красного воздушного флота (позднее Академия Воздушного Флота имени профессора Н.Е.Жуковского).
В 1925 г. с отличием окончил Академию.
В 1926 г. — старший инженер в Высшей военной воздухоплавательной школе Военно-воздушных сил в Ленинграде.
В 1932-1933 гг. возглавлял ОКБ Научно-опытного института резиновой промышленности по постройке стратостата «СССР-1».
К.Д. Годунов — автор конструкции оболочки стратостата.
Руководил пропиткой на московском завод «Каучук» шёлковой ткани для оболочки стратостата, изготовленной на Богородско-Глуховской мануфактуре.
30 сентября 1933 г. К.Д Годунов (пилот-инженер с позывным "Марс") в составе экипажа стратостата «СССР-1», с Георгием Прокофьевым и Эрнестом Бирнбаумом установили мировой рекорд, поднявшись на высоту 18514 м (рекорд подержался 25 лет).
Во время подъёма были взяты пробы воздуха, измерены, скорость ветра, температура, давление и влажность воздуха, проводились исследования электрических свойств атмосферы и космических лучей,
Стратостат совершил благополучное приземление в Московской области.
14 ноября 1933 г. Постановлением Президиума Центрального исполнительного комитета СССР, все организаторы и участники полёта в стратосферу награждены орденом Ленина.
Лев Кассиль — в своей книге «Потолок мира» в подробностях описал событие подъёма стратостата «СССР-1».
5 сентября 1934 г. стратостат «СССР-2», с Георгием Прокофьевым должен был подняться на высоту от 25 до 30 км, но из-за электризации шёлковой ткани оболочки, заполненной водородом, произошло возгорание летательного аппарата и полёт не состоялся.
В 1936 г. К.Д Годунов — начальник отдела новых конструкций опытного завода, автор ряда привязных и свободных аэростатов и аэростатов заграждения.
С началом Великой Отечественной войны (1941-1945 гг.) завод наладил массовый выпуск аэростатов заграждения конструкции К.Д. Годунова, защищавших города и военные объекты от немецкой авиации.
Скончался в Москве. Похоронен на Донском кладбище.
Награды: Орден Ленина, орден Трудового Красного Знамени, медали.