Родился на хуторе Луг Пристенского района Курской области в крестьянской семье.
Учился в Луговской начальной, затем в Кировской средней школах. Ещё в школе увлекался литературным творчеством.
В 1960 г. окончил Курский медицинский институт, работал врачом сельской больницы, преподавал в Курском медицинском институте, кандидат медицинских наук (диссертация на тему морфологическое и гистохимическое исследование нейросекреторной гипоталамо-гипофизарной системы при раке лёгкого, желудка и некоторых др. заболеваниях. Омск, 1967).
В 1960 г. в курской газете «Молодая гвардия» опубликовал первый рассказ «Первый шаг», затем стал печататься в литературно-художественных журналах «Наш современник», «Молодая гвардия», «Смена», «Подъем», альманахах «Поле Куликово», «Порубежье», «Толока».
В 1979 г. принят в Союз писателей СССР и начал профессионально заниматься литературным творчеством. Издал в Воронеже первый сборник рассказов «Дорога к дому, дорога светлая…». Затем повесть о девушке — сельском враче — «Серебряный день» (1980), «Старая яблоня с осколком» (1982), сборник рассказов о трудных послевоенных годах: «Торф» (1985), «Черная рубаха» (1991), повести о медицине — «Сопутствующий диагноз» и «Сеанс гипноза» (1991).
В центральных и региональных издательствах вышли его книги, «Свет в окошке» (2005), «День отошедший» (2010) (переиздана в 2012 г.), «Ни тучки, ни хмарки...» (2010), «Брат мой меньший» (2012), «Мягкое сердце» (2014).
В 2013 г. Еськов признан лучшим прозаиком России.
Еськов — учредитель ежегодной премии «Дорога к дому» для молодых курских литераторов.
Награды:
премия курского комсомола в области литературы (1975);
премия и Дипломом областного литературного конкурса им. А. С. Пушкина в номинации «Проза» (1999);
губернаторская премия им. Е. И. Носова (2005);
премия им. Эдуарда Володина «Имперская культура», лауреат журнала «Молодая гвардия» (2010);
лауреат Шукшинской литературной премии (19.VIII.2011).