Родился в Курске в семье железнодорожника, там же окончил школу.
Когда семья переехала в Москву, устроился на шарикоподшипниковый завод слесарем-инструментальщиком.
Работал, в свободное время рисовал.
Особенно удавались карикатуры – всегда острые.
Однажды его карикатуры на заводскую жизнь поместили в местную стенгазету, после чего его вызвали к директору.
Директор оказался человеком прогрессивным. «Рабочих у нас много, а художников мало. Тебе надо учиться...» сказал он.
Учился на курсах карикатуристов при журнале «Крокодил» у художника А. Радакова который и привёл ДЁжкина на студию «Союзмультфильм».
Когда вышел фильм «Лиса-строитель», работники студии были потрясены сценами, которые он делал.
Он задавал динамику всей картине.
Сама анимация стала другого качества.
Работа в студии останавливалась полностью, когда проходили демонстрации его работ.
В 1934 г. окончил курсы художественной мультипликации при Доме печати в Москве.
В том же году начал работать в экспериментальной мультипликационной мастерской при ГУКФ под руководством В. Ф. Смирнова.
С 1936 г. работает на киностудии «Союзмультфильм» аниматором и художником-постановщиком.
С 1939 г. — режиссёр-постановщик.
Во время Великой Отечественной войны (1941-1945) при бомбёжке, закрывая своим телом человека от осколков, потерял один глаз.
Это не помешало ему впоследствии работать мультипликатором.
С 1947 г. преподавал на курсах художников-мультипликаторов при «Союзмультфильме».
Б.П. Дёжкин единственный из советских мультипликаторов, которому Уолт Дисней предложил работать в его студии.
В 1969 г. присвоено звание Заслуженный деятель искусств РСФСР.
Скончался в Москве. Похоронен на Ваганьковском кладбище, участок №34.
27 августа 2019 г. в Курске, у здания филармонии на ул. Перекальского, 1 открыт памятник (бюст) художнику.
Фильмография:
(режиссёр-постановщик)
«Козел-музыкант» (1954);
«Чиполлино» (1961);
(режиссёр)
«Привет героям!» (1937);
«Дом № 13» (1945);
«Тихая поляна» (1946);
«Слон и муравей» (1948);
«Лев и заяц» (1949);
«Кто первый?» (1950);
«Сердце храбреца» (1951);
«Необыкновенный матч» (1955);
«Старые знакомые» (1956);
«Привет друзьям!» (1957);
«Ровно в 3:15» (1959);
«Железные друзья» (1960);
«Муха-Цокотуха» (1960);
«Снежные дорожки» (1963);
«Шайбу! Шайбу!» (1964);
«Где я его видел?» (1965);
«Это не про меня» (1966);
«Матч-реванш» (1968);
«Метеор на ринге» (1970);
«В гостях у лета» (1972);
«Футбольные звёзды» (1974);
«Талант и поклонники» (1978);
«Первый автограф» (1980);
«Приходи на каток» (1981);
«Не опоздал» (1984);
(сценарист)
«Старые знакомые» (1956);
«Привет друзьям!» (1957);
«Ровно в 3:15» (1959);
«Снежные дорожки» (1963);
«Шайбу! Шайбу!» (1964);
«Где я его видел?» (1965);
«Матч-реванш» (1968);
«Метеор на ринге» (1970);
«В гостях у лета» (1972);
«Футбольные звёзды» (1974);
«Первый автограф» (1980);
«Приходи на каток» (1981);
(художник-постановщик)
«Привет героям!» (1937);
«И мы на олимпиаду» (1940);
«Синица» (1944);
«Дом № 13» (1945);
«Непослушный котенок» (1953);
«Старые знакомые» (1956);
«Привет друзьям!» (1957);
«Ровно в 3:15» (1959);
«Муха-Цокотуха» (1960);
«Снежные дорожки» (1963);
«Шайбу! Шайбу!» (1964);
«Матч-реванш» (1968);
«Метеор на ринге» (1970);
«Футбольные звёзды» (1974);
«Талант и поклонники» (1978);
«Приходи на каток» (1981);
(художник)
«Старые знакомые» (1956);
«Знакомые картинки» (1957);
«Первый автограф» (1980);
(мультфильмы о спорте)
«Тихая поляна» (1946)-футбольный матч между командами зайцев и медведей;
«Кто первый?» (1950)-велосипедные гонки между лесными зверятами;
«Необыкновенный матч»(1955)-футбольный матч между командами деревянных и мягких игрушек;
«Старые знакомые» (1956)-матч по водному поло между командами деревянных и мягких игрушек;
«Снежные дорожки» (1963)-лыжный спорт в зимнем лесу;
«Шайбу! Шайбу!» (1964)-хоккейный матч между командами «Метеор» и «Вымпел»;
«Матч-реванш» (1968)-ответный хоккейный матч между командами «Метеор» и «Вымпел»;
«Метеор на ринге» (1970)-состязания по боксу-«Метеор» победил;
«В гостях у лета» (1972)-спортсмены команды «Метеор» летом занялись туризмом;
«Футбольные звёзды» (1974)-футбольный матч;
«Талант и поклонники» (1978)-прыжки с шестом (как поклонники портят жизнь талантам);
«Приходи на каток» (1981)-хоккеисты команды «Метеор» встречают фигуристок.