Родился в Гельсингфорсе в семье офицера императорского флота.
С 1858 г. стал вольноприходящим учеником Академии художеств в Санкт-Петербурге в классе исторической живописи.
За ученические работы награждён двумя малыми серебряными медалями (1863, 1864) и двумя большими серебряными медалями (1865, 1866).
В 1863-1864 гг. — член артели художников в Санкт-Петербурге, в которую входили В. М. Максимов, А. А. Киселев и др.
В 1867 г. за картину «Смерть Олега» получает звание классного художника II степени.
Автор произведений: «Вид из окрестностей села Лентьева в Новгородской губернии», «Возвращение с Голгофы», «Привал цыган» и других.
Особенно прославился созданием превосходных акварельных рисунков.
С 1873 г. А.К. Дамберг жил в Курске, где многие годы преподавал рисование в Курском реальном Курском реальном училище, принимал участие в работе кружка гитаристов Ю. Штокмана, изобрёл свою конструкцию гитары с круглым корпусом.
В 1891 г. представил на звание академика эскиз картины «Фламмарион. Приближение Земли к созвездию Геркулеса».
В 1909 г. А.К. Дамберг вместе с др. художниками стал инициатором создания Товарищества курских художников, постоянно участвовал в выставках курских художников.
В 1913 г. представил на суд зрителей большую картину «Фавн в доме Сафо».
В 1914 г. выставлялся на VI выставке Товарищества.
В последние годы жизни жил в г. Обоянь и Белгород, где, предположительно, и скончался.
Произведения А.К. Дамберга хранятся в различных музейных собраниях, в том числе в Научно-исследовательском музее Российской Академии художеств.