Получил образование в Московской консерватории по классам фортепиано и композиции у А.И. Дюбюка и по теории музыки у П.И. Чайковского.
Совершенствовался у Г. Литольфа в Париже и у И. Мошелеса в Лейпциге.
В 1878-1882 гг. дирижировал оперными спектаклями в Большом театре в Москве, затем в различных театрах в провинции.
В 1888 г. с оперной труппой уехал на гастроли за границу. В Берлине под его управлением состоялась первая в этом городе постановка оперы «Жизнь за царя».
П.А.Щуровский выступал в качестве дирижёра в Копенгагене и Праге, организовывал концерты в Петербурге, Москве и других городах, читал публичные лекции.
Издал руководство для дирижёров, составил и переложил для духового оркестра «Сборник национальных гимнов всех государств света» (СПб, 1890). В этот сборник вошли музыка и слова 85 национальных гимнов. Сам П. Щуровский стал автором одного из них — гимна королевства Сиам (ныне Таиланд), являющегося неофициальным, но исполняемым с 1881 г. по сей день перед началом демонстрации кинофильмов, показом театральных пьес и началом телевизионных трансляций.
П.А. Щуровский является автором поставленной в Москве оперы «Богдан Хмельницкий», неоконченной оперы «Кузнец Вакула», нескольких пьес для фортепиано и около 30 романсов. Некоторые из них изданы у А. Гутхейля и в Курске у братьев Красильниковых («Звезда, не обмани», «Тебе, мой друг», «Желанья» и др.).
Многие из романсов были с посвящениями и исполнялись известными певцами П. А. Хохловым, Н. Н. Фигнером.
Как музыкальный критик он печатался в журнале «Московское обозрение», в газете «Московские ведомости», читал публичные лекции по музыкальным вопросам в Московском историческом музее, организовал в Москве «Общедоступные музыкальные утра».
Просветительским целям служили многие его литературные труды — методическая работа «Как надо учить наших детей музыке». Составил карманный музыкальный справочник (по Г. Риману) «Годы, места рождения и кончины известных русских и иностранных композиторов, дирижёров и прочее, более 1000 имён», изданный в Киеве в 1905 г. на средства братьев Красильниковых.
После 1889 г. жил то в Москве, то в Харькове, то в Курске, то на хуторе Моркость Щигровского уезда Курской губернии, где было имение жены Веры Ивановны (в девичестве — Офросимова).
С 1893 г. и до кончины жизнь композитора была полностью связана с Курском.
На семейных концертах и в музыкальном кружке Курска романсы Щуровского с большим вдохновением исполняла жена и соратница композитора, обладавшая прекрасным колоратурным сопрано. Многие из этих романсов посвящены именно ей.
В Курске П.А. Щуровский совместно с композитором М.Н. Офросимовым организовал музыкальный кружок, объединивший как музыкантов-профессионалов, так и любителей, организовывал музыкальные вечера и музыкальные утренники для детей. Открыл при кружке музыкальную школу, организовал оркестр и хор, где выступал как дирижёр, а также преподавал музыкальные предметы.
Помимо всего П.А. Щуровский ещё возглавлял в Курске отдел Российского общества покровительства животных, полагая, что детей надо воспитывать: "... в духе религиозно-нравственном и милосердия к бессловесным тварям Божьим, дабы обеспечить будущим ближайшим поколениям мир и спокойствие на земле и надежду на награду в небесах".
Последние годы жизни долго и тяжело болел.
Похоронен в Курске на Всехсвятском кладбище.
Соч.: Сборник национальных гимнов всех государств света, составленный по официальным данным П. Щуровским; одобрен по военному ведомству Главным Штабом. СПб, 1890.