Родился в с. Успенка Тимского уезда Курской губернии (ныне Тимский р-н Курской области).
Осенью 1935 г. поступил в Тамбовское Краснознамённое военное пехотное училище.
Летом 1940 г. по окончанию Харьковского военно-авиационного училища получил направление в 125-й бомбардировочный авиационный полк Белорусского военного округа, куда зачислен стрелком-бомбардиром в экипаж мл. лейтенанта И. С. Черных.
С первых дней Великой Отечественной войны участвовал в боевых вылетах на бомбардировку вражеских частей.
К середине декабря 1941 г. экипаж бомбардировщика, которым командовал И. С. Черных и в который входил Косинов, имел на своём счету 61 боевой вылет.
62-е задание состояло в атаке колонны вражеской техники вблизи г. Чудова Новгородской области. При заходе на цель самолёт подбила зенитная артиллерия.
Несмотря на повреждение самолёта точно сбросил бомбы на цель.
Когда пламя сбить не удалось экипаж принял решение идти на таран цели. Горящий самолёт направили в гущу вражеской техники. Все члены экипажа погибли.
Лейтенант Косинов награждён орденом Красной звезды (31 декабря 1941, посмертно); как и др. члены экипажа, награждён орденом Ленина и медалью Герой Советского Союза «Золотая Звезда (16 января 1942, посмертно).
Грамота Героя Советского Союза Косинова хранится в успенской школе, где он учился.
В память о Косинове названы улицы в Санкт-Петербурге и в г. Чудово. На въезде в г. Чудов, на месте подвига, установлен обелиск.
Имя героя носит теплоход-лесовоз «Семён Косинов».
В 1971 г. почта СССР выпустила марку с портретом Косинова.