Родился в крестьянской семье в д. Новая Слобода Щигровского уезда Курской губернии (ныне Щигровскй р-н Курской области).
После окончания уездного училища родители определили его в открывшуюся тогда Курскую фельдшерскую школу.
Практической медицинской деятельностью начал заниматься в 1902 г. на медицинском участке Щигровского уезда.
В 1908 г. приглашён в Курскую губернскую земскую больницу на должность фельдшера хирургического отделения и наркотизатора, избран председателем губернского общества фельдшеров.
Работая в больнице, получил направление в Московскую зубоврачебную школу, по окончании которой осваивал технику зубного протезирования в Берлине.
Уже будучи квалифицированным специалистом, в 1914 г. стал студентом Юрьевского (ныне Тартуского) университета, эвакуированного после февральской революции в Воронеж.
Диплом врача получил в самый разгар гражданской войны в России и сразу же был мобилизован в Красную Армию.
Работал старшим полковым и бригадным врачом, помощником начальника санитарной части 25-й Чапаевской дивизии.
В 1921 г. А.Е. Евдокимов вступил на должность ординатора кафедры одонтологии 2-го Московского университета. Через год его избрали ассистентом кафедры одонтологии 3-го Московского медицинского института, а вскоре назначили директором вновь организованного Государственного института зубоврачевания (ГИЗ).
В 1929 г. присвоено звание профессора.
С 1930 г. стал заведовать кафедрами стоматологии, созданными им в Центральном институте усовершенствования врачей, в Воронежском и 2-м Московском медицинском институтах.
При активном участии А.Н. Евдокимова в 1930-е г. открыто несколько медицинских учебных заведений стоматологического профиля, разработаны учебные программы, подготовлено постановление о пятилетнем сроке обучения в вузах.
В 1938 г. его избрали заведующим кафедрой хирургической стоматологии Московского медицинского стоматологического института, которую он возглавлял 25 лет.
А.Н. Евдокимов — инициатор создания Центрального научно-исследовательского института стоматологии, где в течение 1963–1968 гг. работал заместителем директора.
При участии А.Н. Евдокимова разработаны приёмы определения диагноза многих стоматологических заболеваний и методы их лечения, от терапевтических и хирургических до восстановительных и пластических операций.
Много занимался и решением проблемы обезболивания.
Результаты своих исследований изложил более чем в 150 научных статьях, брошюрах и книгах.
Под его руководством подготовлено и защищено свыше 10 докторских и около 70 кандидатских диссертаций.
Учебник по хирургической стоматологии, написанный А.Н. Евдокимовым и его ближайшим сотрудником Г. А. Васильевым, выдержал несколько изданий и стал настольной книгой студентов и врачей.
Много лет подряд А.Н. Евдокимов состоял членом редколлегии и редактором журнала «Стоматология», был организатором и почётным председателем Всесоюзного и Всероссийского обществ стоматологов, редактором 1-го и 2-го изданий Большой медицинской энциклопедии в части стоматологии и одонтологии.
А.Н. Евдокимов являлся членом, медицинского общества Яна Пуркинье в Чехословакии, общества стоматологов Болгарии.
Скончался в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Награды: четыре ордена Ленина, орден Октябрьской Революции, медали.
Н.Ф. Шахов