Родился в г. Архангельск, принадлежал к древнему дворянскому роду, ведущему начало от подьячего Кузьмы Бурнашева, жившего во второй половине XVII в., и записанному в VI часть родословных книг Курской и Орловской губернии. Получил домашнее образование, владел иностранными языками, имел познания в точных науках.
С 1759 г. служил по инженерной части.
В 1768 г. перешел на военную службу. Сочетал военную службу с инженерными и исследовательскими работами: составил карты и планы Крымских и Кавказских гор, проектировал крепости, намечал места прокладки дорог.
С 1783 по 1787 гг. — дипломатический представитель Российской империи в Тифлисе при дворе грузинского царя Ираклия II.
Участвовал в русско-турецких войнах. За умелые действия в сражении при Фокшанах и Рымнике удостоился похвалы А. В. Суворова и награжден орденом св. Георгия.
В 1789 г. получил ранение и контузию, после чего вышел в отставку и поселился в Курске.
В 1791 г. назначен гражданским правителем в Курск, где наместником в это время был А. А. Беклешов. Совместное правление этих незаурядных личностей оказалось очень плодотворным для Курска. Именно в эти годы здесь появился театр, построено первое народное училище, начала работать типография. Одними из первых, напечатанных в ней книг, стали труды С.Д. Бурнышева, в которых он описал обычаи и нравы разных народов Кавказа: «Картина Грузии, или Описание политического состояния царства Карталинского и Кахетинского» (1793), «Описание областей Адребижанских в Персии» (1793), «Описание горских народов» (1794).
В книгах С.Д. Бурнышёва немало живых наблюдений, красочных подробностей. Большой его заслугой является составление первой географической «генеральной» карты Курской Курской губернии.
В декабре 1796 г., с отменой института наместничества, С.Д. Бурнышёв становится курским губернатором.
В декабре 1798 г. Высочайшим повелением отозван из Курска, в связи с получением должности сенатора.
В сентябре 1800 г. уволен от службы императором Павлом I.
По вступлении на престол Александра I снова назначен в Сенат, но подал в отставку и поселился в с. Спасском Фатежского уезда, Курской губернии.
Скончался в Курске. Похоронен на Всехсвятском (Херсонском) кладбище (в советский период могила утрачена).
Имел двух сыновей: Тимофея Степановича (помещик, сельский хозяин) и Петра Степановича (чиновник, бывший в 1814-1818 вице-губернатором Орловской губернии, переводчик с немецкого и французского). Внучка Софья Бурнышёва.
Имя С.Д. Бурнышова носила площадь в Курске (ныне пл. Добролюбова). Еще в 1960-е гг. именование площади Бурнашёвка (Барнышёвка) бытовало в городской среде.
Ист.:
С. Н. Бурнашев. Новые материалы жизнеописания и деятельности С. Д. Бурнашева, бывшего в Грузии с 1793 по 1787 г. СПб, 1901;
А. В. Блюм. Возникновение книгопечатания в Курске/Краеведческие записки. Вып. 3. Воронеж, 1968;
И. З. Баскевич. Курские вечера. Литературно-краеведческие очерки и этюды. Воронеж, Центр.-Черноземное изд-во. 1979. 208 с